PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bản PHOJ — cốt lõi, chuẩn hóa, ưu tiên phản xạ giải bài

Dấu hiệu nhìn ra → Công thức liên quan → Vì sao dùng → Cách biến đổi → Dạng đích → Bẫy cần tránh

Mục tiêu cuối cùng của hầu hết bài toán là đưa phương trình về một trong ba dạng:

$$\sin u=a$$ $$\cos u=a$$ $$\tan u=a$$

hoặc một phương trình đại số:

$$P(t)=0$$

với biến phụ thích hợp.

---

1. Ba câu hỏi cốt lõi khi nhìn một phương trình

Trước khi biến đổi, luôn hỏi:

1.1. Có thể giảm số loại hàm không?

Ví dụ có:

$$\sin^2x,\quad \cos x$$

thì nghĩ:

$$\sin^2x=1-\cos^2x$$

để chỉ còn $\cos x$.

---

1.2. Có thể giảm số loại góc không?

Ví dụ có:

$$\sin x+\sin5x$$

hai góc $x$ và $5x$ đối xứng quanh $3x$.

Nghĩ ngay tổng thành tích:

$$\sin x+\sin5x = 2\sin3x\cos2x$$

---

1.3. Có thể đại số hóa không?

Ví dụ:

$$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$

đặt:

$$t=\sin x$$

để được:

$$2t^2-3t+1=0$$

---

2. Bộ công thức lõi phải thành phản xạ

2.1. Pythagore

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

Suy ra:

$$\sin^2x=1-\cos^2x$$ $$\cos^2x=1-\sin^2x$$

Dùng khi muốn loại một trong hai hàm sin hoặc cos.

---

2.2. Tang và cotang

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

Công thức liên quan:

$$1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$$ $$1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}$$

Dùng mạnh nhất trong phương trình thuần nhất theo $\sin x,\cos x$.

---

2.3. Góc đôi

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$ $$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$ $$\cos2x=2\cos^2x-1$$ $$\cos2x=1-2\sin^2x$$

Phản xạ:

$$2\sin x\cos x \longleftrightarrow \sin2x$$ $$\cos^2x-\sin^2x \longleftrightarrow \cos2x$$ $$2\cos^2x-1 \longleftrightarrow \cos2x$$ $$1-2\sin^2x \longleftrightarrow \cos2x$$

---

2.4. Hạ bậc

$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$$ $$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$$ $$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$$

Dùng khi biểu thức bậc hai theo sin-cos nhưng không thể loại một hàm bằng Pythagore một cách gọn.

---

2.5. Góc ba

$$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$$ $$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$$

Phản xạ:

$$3\sin x-4\sin^3x \longleftrightarrow \sin3x$$ $$4\cos^3x-3\cos x \longleftrightarrow \cos3x$$

---

2.6. Tổng thành tích

$$\sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$$$\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$$$\cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$$$\cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

Dùng khi hai góc có cấu trúc đối xứng.

---

2.7. Tích thành tổng

$$\sin A\sin B = \frac12\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]$$$$\cos A\cos B = \frac12\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right]$$$$\sin A\cos B = \frac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$$

Chỉ nên dùng khi các góc mới $A+B$ và $A-B$ ghép được với các hạng còn lại.

---

2.8. Góc phụ

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$

Dùng khi hai vế là sin và cos khác loại nhưng có thể đổi về cùng một hàm.

---

2.9. Biên độ

Với:

$$R=\sqrt{a^2+b^2}$$

có thể viết:

$$a\sin x+b\cos x = R\sin(x+\varphi)$$

với:

$$\cos\varphi=\frac{a}{R}$$ $$\sin\varphi=\frac{b}{R}$$

Suy ra:

$$|a\sin x+b\cos x| \le \sqrt{a^2+b^2}$$

---

2.10. Tổng đối xứng sin-cos

Đặt:

$$t=\sin x+\cos x$$

thì:

$$t^2=1+2\sin x\cos x$$

nên:

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$

và:

$$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$$

---

2.11. Tang nửa góc

Đặt:

$$t=\tan\frac{x}{2}$$

thì:

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$$

Hai công thức đặc biệt:

$$\tan\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$$ $$\tan\frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{\sin x}$$

với điều kiện mẫu khác $0$.

---

3. Phương trình cơ bản

3.1. $\sin u=a$

Điều kiện:

$$|a|\le1$$

Đặt:

$$\alpha=\arcsin a$$

Nghiệm:

$$u=\alpha+2k\pi$$

hoặc:

$$u=\pi-\alpha+2k\pi$$

với:

$$k\in\mathbb{Z}$$

Bản chất: $\sin u$ là tung độ trên đường tròn đơn vị, nên một mức tung độ thường cắt đường tròn tại hai điểm trong một chu kỳ.

---

3.2. $\cos u=a$

Điều kiện:

$$|a|\le1$$

Đặt:

$$\alpha=\arccos a$$

Nghiệm:

$$u=\pm\alpha+2k\pi$$

---

3.3. $\tan u=a$

Đặt:

$$\alpha=\arctan a$$

Nghiệm:

$$u=\alpha+k\pi$$

Tang có chu kỳ $\pi$.

---

3.4. $\cot u=a$

Cách an toàn là đổi:

$$\cot u=\frac{\cos u}{\sin u}$$

với điều kiện:

$$\sin u\ne0$$

Nếu $a\ne0$:

$$\tan u=\frac1a$$

Nếu $a=0$:

$$\cos u=0$$

---

4. Hai vế cùng một hàm

4.1. $\sin u=\sin v$

$$u=v+2k\pi$$

hoặc:

$$u=\pi-v+2k\pi$$

---

4.2. $\cos u=\cos v$

$$u=2k\pi\pm v$$

---

4.3. $\tan u=\tan v$

$$u=v+k\pi$$

với điều kiện hai vế xác định.

---

5. Đa thức theo một hàm lượng giác

5.1. Dạng tổng quát

Nếu phương trình là:

$$P(\sin x)=0$$

đặt:

$$t=\sin x$$

với:

$$-1\le t\le1$$

Nếu là:

$$P(\cos x)=0$$

đặt:

$$t=\cos x$$

với:

$$-1\le t\le1$$

Nếu là:

$$P(\tan x)=0$$

đặt:

$$t=\tan x$$

với:

$$t\in\mathbb{R}$$

---

5.2. Bậc hai theo sin

Dạng:

$$a\sin^2x+b\sin x+c=0$$

Đặt:

$$t=\sin x$$

Giải:

$$at^2+bt+c=0$$

Lọc:

$$t\in[-1,1]$$

rồi giải:

$$\sin x=t$$

---

5.3. Trùng phương

Dạng:

$$a\sin^4x+b\sin^2x+c=0$$

Đặt:

$$t=\sin^2x$$

với:

$$0\le t\le1$$

Tương tự cho $\cos^2x$.

Nếu đặt:

$$t=\tan^2x$$

thì:

$$t\ge0$$

---

6. Loại một hàm bằng Pythagore

6.1. Có $\sin^2x$ và $\cos x$

Phản xạ:

$$\sin^2x=1-\cos^2x$$

để chỉ còn $\cos x$.

Ví dụ:

$$2\sin^2x+3\cos x-2=0$$

thành:

$$2(1-\cos^2x)+3\cos x-2=0$$

rồi giải bậc hai theo $\cos x$.

---

6.2. Có $\cos^2x$ và $\sin x$

Phản xạ:

$$\cos^2x=1-\sin^2x$$

để chỉ còn $\sin x$.

---

6.3. Cách chọn nhanh

Nếu:

$$\sin^2x$$

đi cùng bậc một của $\cos x$, đổi sang cos.

Nếu:

$$\cos^2x$$

đi cùng bậc một của $\sin x$, đổi sang sin.

---

7. Phương trình thuần nhất theo sin và cos

Dạng điển hình:

$$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$$

Cách nhìn

Mọi số hạng đều cùng bậc theo $\sin x,\cos x$.

Cách giải

Xét riêng:

$$\cos x=0$$

Sau đó với:

$$\cos x\ne0$$

chia cho:

$$\cos^2x$$

thu được:

$$a\tan^2x+b\tan x+c=0$$

rồi đặt:

$$t=\tan x$$

Bẫy

Không được chia ngay cho $\cos^2x$ mà không xét $\cos x=0$.

---

8. Bậc hai tổng quát theo sin-cos

Dạng:

$$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$$

Nếu $d\ne0$, chia thuần nhất thường không đẹp.

Dùng:

$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$$ $$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$$ $$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$$

Ta đưa được về:

$$A\sin2x+B\cos2x=C$$

rồi dùng biên độ.

Quy tắc thực chiến

Nếu vế phải bằng $0$ và biểu thức thuần nhất:

ưu tiên chia để ra tang.

Nếu vế phải khác $0$:

ưu tiên hạ bậc để ra $\sin2x,\cos2x$.

---

9. Nhận dạng góc đôi

9.1. Tích $\sin x\cos x$

$$\sin x\cos x=a$$

nhân $2$:

$$\sin2x=2a$$

Điều kiện có nghiệm:

$$|a|\le\frac12$$

---

9.2. Hiệu bình phương

$$\cos^2x-\sin^2x=a$$

thành:

$$\cos2x=a$$

---

9.3. Hai biểu thức $1-2\sin^2x$ và $2\cos^2x-1$

Đều bằng:

$$\cos2x$$

---

10. Nhận dạng góc ba

Thấy:

$$4\cos^3x-3\cos x$$

đừng coi là đa thức ngẫu nhiên.

Thu gọn:

$$4\cos^3x-3\cos x=\cos3x$$

Tương tự:

$$3\sin x-4\sin^3x=\sin3x$$

Khi nào khai triển ngược lại?

Nếu bài có:

$$\cos3x$$

và phần còn lại là đa thức theo $\cos x$, có thể khai triển:

$$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$$

để đại số hóa.

Nguyên tắc:

Chọn chiều làm biểu thức ngắn hơn hoặc làm số loại góc ít hơn.

---

11. Tổng thành tích: nhận ra góc trung tâm

11.1. Hai sin

Ví dụ:

$$\sin x+\sin5x$$

Góc trung tâm:

$$\frac{x+5x}{2}=3x$$

Nửa hiệu:

$$\frac{5x-x}{2}=2x$$

Do đó:

$$\sin x+\sin5x = 2\sin3x\cos2x$$

---

11.2. Dãy góc cách đều

Ví dụ:

$$\sin x+\sin3x+\sin5x$$

Ghép hai đầu:

$$\sin x+\sin5x = 2\sin3x\cos2x$$

Suy ra:

$$\sin3x(2\cos2x+1)$$

Phản xạ

Dãy góc cách đều → tìm tâm đối xứng → ghép hai đầu.

---

12. Tích thành tổng: chỉ dùng khi có lợi

Ví dụ:

$$2\sin3x\cos x$$

thành:

$$\sin4x+\sin2x$$

Chỉ nên làm nếu phương trình còn có $\sin4x$ hoặc $\sin2x$ để gom hạng.

Nếu không, giữ dạng tích có thể tốt hơn vì tích bằng $0$ dễ giải.

---

13. Dạng tuyến tính $a\sin u+b\cos u=c$

Đây là một trong những dạng quan trọng nhất.

Công thức

$$R=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$a\sin u+b\cos u = R\sin(u+\varphi)$$

Điều kiện có nghiệm

$$|c|\le R$$

Cách nhìn cực nhanh

Thấy:

$$3\sin u+4\cos u$$

nghĩ:

$$R=5$$

Bản chất

Đây là tích vô hướng giữa:

$$(a,b)$$

và:

$$(\sin u,\cos u)$$

vectơ thứ hai có độ dài $1$, nên theo Cauchy:

$$|a\sin u+b\cos u| \le \sqrt{a^2+b^2}$$

---

14. Dạng $\sin x+\cos x$ và $\sin x-\cos x$

14.1. Dạng đơn

$$\sin x+\cos x = \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$$$\sin x-\cos x = \sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Nếu chỉ có một tổng như vậy, dùng biên độ là ngắn nhất.

---

14.2. Dạng đối xứng có tích

Nếu bài có đồng thời:

$$\sin x+\cos x$$

và:

$$\sin x\cos x$$

đặt:

$$t=\sin x+\cos x$$

với:

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$

và:

$$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$$

---

14.3. Hiệu đối xứng

Đặt:

$$t=\sin x-\cos x$$

thì:

$$t^2=1-2\sin x\cos x$$

suy ra:

$$\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$$

---

15. Đối xứng bậc cao

Nếu xuất hiện:

$$\sin^3x+\cos^3x$$

dùng đại số:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

suy ra:

$$\sin^3x+\cos^3x = (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)$$

Nếu bài còn chứa $\sin x+\cos x$, đặt:

$$t=\sin x+\cos x$$

rồi dùng:

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$

Bản chất

Biểu thức đối xứng theo sin-cos nên được xử lý bằng tư duy đại số đối xứng trước khi tìm công thức lượng giác mới.

---

16. Tang, cotang, sec, cosec

16.1. $\tan x+\cot x$

Điều kiện:

$$\sin x\cos x\ne0$$

Ta có:

$$\tan x+\cot x = \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{2}{\sin2x}$$

---

16.2. $\tan x-\cot x$

$$\tan x-\cot x = \frac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin x\cos x} = -2\cot2x$$

---

16.3. Sec và cosec

$$\sec x=\frac1{\cos x}$$ $$\csc x=\frac1{\sin x}$$

Phản xạ:

Gặp sec hoặc cosec → thường đổi về cos hoặc sin ngay.

---

17. Phương trình hữu tỉ

Dạng:

$$\frac{P(\sin x,\cos x)}{Q(\sin x,\cos x)}=0$$

Quy trình

Bước 1:

$$Q(\sin x,\cos x)\ne0$$

Bước 2:

Giải:

$$P(\sin x,\cos x)=0$$

Bước 3:

Loại nghiệm vi phạm điều kiện.

Nguyên tắc

Phân thức → điều kiện trước, rút gọn sau.

---

18. Nửa góc và tang nửa góc

18.1. Dấu hiệu

Thấy:

$$1+\cos x$$

hoặc:

$$1-\cos x$$

đi cùng $\sin x$.

Công thức

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$ $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$ $$\frac{\sin x}{1+\cos x} = \tan\frac{x}{2}$$ $$\frac{1-\cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}$$

---

18.2. Đại số hóa hoàn toàn

Đặt:

$$t=\tan\frac{x}{2}$$

thì:

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

Dùng khi các cách đơn giản hơn không hiệu quả.

Cảnh báo

Giá trị:

$$x=\pi+2k\pi$$

không cho $t$ hữu hạn.

Nếu các điểm này thuộc miền xác định của phương trình gốc, phải kiểm tra riêng.

---

19. Phương trình có căn và trị tuyệt đối

19.1. Có căn

Ví dụ:

$$\sqrt{F(x)}=G(x)$$

phải có:

$$F(x)\ge0$$

và:

$$G(x)\ge0$$

Sau đó mới bình phương.

Cuối cùng phải thử lại nghiệm.

---

19.2. Có trị tuyệt đối

$$|\sin x|=a$$

Nếu $a<0$, vô nghiệm.

Nếu:

$$0\le a\le1$$

thì:

$$\sin x=a$$

hoặc:

$$\sin x=-a$$

---

20. Phương trình tham số: xét miền giá trị trước

Ví dụ:

$$a\sin x+b\cos x=m$$

có nghiệm khi và chỉ khi:

$$|m|\le\sqrt{a^2+b^2}$$

Không cần giải $x$ nếu đề chỉ hỏi điều kiện của $m$.

Phản xạ

Tham số → trước hết hỏi vế trái nhận được khoảng giá trị nào.

---

21. Đếm nghiệm trên khoảng

Giả sử một họ nghiệm:

$$x=\alpha+2k\pi$$

và yêu cầu:

$$L\le x\le R$$

Giải:

$$L\le\alpha+2k\pi\le R$$

theo số nguyên $k$.

Sau đó:

• kiểm tra các họ có trùng nhau không;
• kiểm tra hai đầu khoảng;
• loại nghiệm vi phạm điều kiện.

---

22. Chu kỳ cần nhớ

$$\sin(x+2k\pi)=\sin x$$ $$\cos(x+2k\pi)=\cos x$$ $$\tan(x+k\pi)=\tan x$$

Với $a\ne0$:

$$T_{\sin(ax+b)} = \frac{2\pi}{|a|}$$ $$T_{\cos(ax+b)} = \frac{2\pi}{|a|}$$ $$T_{\tan(ax+b)} = \frac{\pi}{|a|}$$

Đếm nghiệm phải xét chu kỳ của toàn bộ biểu thức, không chỉ một số hạng.

---

23. Sáu bẫy nguy hiểm nhất

23.1. Chia mất nghiệm

Từ:

$$\sin x\cos x=\sin x$$

không chia ngay cho $\sin x$.

Đúng là:

$$\sin x(\cos x-1)=0$$

---

23.2. Bình phương sinh nghiệm

$$A=B \Rightarrow A^2=B^2$$

nhưng chiều ngược không luôn đúng.

Sau bình phương phải thử lại.

---

23.3. Quên miền biến phụ

Nếu:

$$t=\sin x$$

thì:

$$-1\le t\le1$$

Nếu:

$$t=\sin^2x$$

thì:

$$0\le t\le1$$

Nếu:

$$t=\sin x+\cos x$$

thì:

$$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$$

---

23.4. Khai triển góc quá sớm

$$\sin x+\sin5x$$

không nên khai triển $\sin5x$.

Tổng thành tích ngắn hơn nhiều.

---

23.5. Đổi mọi thứ về sin-cos

Nếu phương trình đã là:

$$\tan^2x-3\tan x+2=0$$

thì giữ nguyên và đặt:

$$t=\tan x$$

Không cần đổi sang sin-cos.

---

23.6. Lạm dụng $t=\tan\frac{x}{2}$

Đây là công cụ tổng quát nhưng thường làm bài dài hơn.

Chỉ dùng khi:

• phương trình hữu tỉ phức tạp;
• các cách Pythagore, góc đôi, biên độ, tổng thành tích không gọn.

---

24. Cây quyết định thực chiến

Bước 1. Điều kiện

Kiểm tra:

• mẫu;
• căn;
• tang;
• cotang;
• hàm lượng giác ngược.

Bước 2. Đại số đơn giản

Thử:

• nhân tử chung;
• hiệu hai bình phương;
• bậc hai;
• trùng phương.

Bước 3. Giảm số loại hàm

Thử:

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

hoặc chuyển tang-cot về sin-cos nếu thật sự có lợi.

Bước 4. Giảm số loại góc

Kiểm tra:

• góc đôi;
• góc ba;
• tổng thành tích;
• tích thành tổng;
• góc phụ.

Bước 5. Cấu trúc đặc biệt

Kiểm tra:

$$a\sin u+b\cos u$$

và biểu thức đối xứng theo sin-cos.

Bước 6. Đại số hóa

Chọn một trong:

$$t=\sin x$$ $$t=\cos x$$ $$t=\tan x$$ $$t=\sin x+\cos x$$ $$t=\tan\frac{x}{2}$$

Bước 7. Đưa về phương trình cơ bản

Mục tiêu:

$$\sin u=a$$

hoặc:

$$\cos u=a$$

hoặc:

$$\tan u=a$$

Bước 8. Kiểm tra tập nghiệm

Kiểm tra:

• điều kiện;
• nghiệm ngoại lai;
• nghiệm mất do chia;
• miền biến phụ;
• khoảng yêu cầu;
• nghiệm trùng.

---

25. Bản đồ phản xạ: nhìn thấy gì → nghĩ gì

Thấy:

$$\sin^2x+\cos^2x$$

→ $1$.

Thấy:

$$2\sin x\cos x$$

→ $\sin2x$.

Thấy:

$$\cos^2x-\sin^2x$$

→ $\cos2x$.

Thấy:

$$1-2\sin^2x$$

→ $\cos2x$.

Thấy:

$$2\cos^2x-1$$

→ $\cos2x$.

Thấy:

$$4\cos^3x-3\cos x$$

→ $\cos3x$.

Thấy:

$$3\sin x-4\sin^3x$$

→ $\sin3x$.

Thấy $\sin^2x$ đi với $\cos x$

→ đổi về cos.

Thấy $\cos^2x$ đi với $\sin x$

→ đổi về sin.

Thấy phương trình thuần nhất sin-cos

→ xét trường hợp mẫu bằng $0$, rồi chuyển sang tang.

Thấy:

$$a\sin u+b\cos u$$

→ biên độ.

Thấy hai góc đối xứng

→ tổng thành tích.

Thấy tích hai góc khác nhau

→ chỉ dùng tích thành tổng nếu các góc mới có ích.

Thấy đối xứng sin-cos

→ đặt $\sin x+\cos x$.

Thấy:

$$1\pm\cos x$$

đi với $\sin x$

→ nửa góc.

Thấy phân thức

→ điều kiện trước.

Thấy căn

→ điều kiện dấu trước khi bình phương.

Thấy tham số

→ miền giá trị trước.

---

26. Ví dụ tổng hợp 1: Pythagore

Giải:

$$2\sin^2x+3\cos x-2=0$$

Nhìn thấy $\sin^2x$ đi cùng $\cos x$.

Dùng:

$$\sin^2x=1-\cos^2x$$

Suy ra:

$$2(1-\cos^2x)+3\cos x-2=0$$ $$-2\cos^2x+3\cos x=0$$ $$\cos x(3-2\cos x)=0$$

Do:

$$\left|\frac32\right|>1$$

nên chỉ còn:

$$\cos x=0$$

Vậy:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

---

27. Ví dụ tổng hợp 2: thuần nhất

Giải:

$$\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$$

Xét:

$$\cos x=0$$

thay vào phương trình gốc không thỏa.

Với:

$$\cos x\ne0$$

chia cho $\cos^2x$:

$$\tan^2x-3\tan x+2=0$$ $$(\tan x-1)(\tan x-2)=0$$

Do đó:

$$\tan x=1$$

hoặc:

$$\tan x=2$$

---

28. Ví dụ tổng hợp 3: biên độ

Giải:

$$3\sin x+4\cos x=6$$

Biên độ lớn nhất:

$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$

nên:

$$|3\sin x+4\cos x|\le5$$

Không thể bằng $6$.

Vậy phương trình vô nghiệm.

---

29. Ví dụ tổng hợp 4: tổng thành tích

Giải:

$$\sin x+\sin5x=0$$

Hai góc đối xứng quanh $3x$.

$$\sin x+\sin5x = 2\sin3x\cos2x$$

Suy ra:

$$\sin3x=0$$

hoặc:

$$\cos2x=0$$

Sau đó giải hai phương trình cơ bản.

---

30. Ví dụ tổng hợp 5: góc ba

Giải:

$$4\cos^3x-3\cos x=\frac12$$

Nhận:

$$4\cos^3x-3\cos x=\cos3x$$

nên:

$$\cos3x=\frac12$$

Suy ra:

$$3x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

Do đó:

$$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$$

---

31. Ví dụ tổng hợp 6: đối xứng

Giải:

$$\sin x+\cos x+\sin x\cos x=1$$

Đặt:

$$t=\sin x+\cos x$$

thì:

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$

Suy ra:

$$t+\frac{t^2-1}{2}=1$$ $$t^2+2t-3=0$$ $$(t-1)(t+3)=0$$

Do:

$$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$$

loại:

$$t=-3$$

Còn:

$$\sin x+\cos x=1$$

rồi giải bằng biên độ.

---

32. Ví dụ tổng hợp 7: nửa góc

Giải:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=1$$

Điều kiện:

$$1+\cos x\ne0$$

Nhận:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x} = \tan\frac{x}{2}$$

Suy ra:

$$\tan\frac{x}{2}=1$$

nên:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}+k\pi$$

Vậy:

$$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

---

33. Ví dụ tổng hợp 8: phối hợp hai kỹ thuật

Giải:

$$\sin x+\sin3x=\sin2x$$

Dùng tổng thành tích:

$$\sin x+\sin3x = 2\sin2x\cos x$$

Suy ra:

$$2\sin2x\cos x=\sin2x$$

Chuyển vế:

$$\sin2x(2\cos x-1)=0$$

Do đó:

$$\sin2x=0$$

hoặc:

$$\cos x=\frac12$$

Chuỗi tư duy:

góc đối xứng → tổng thành tích → nhân tử chung → phương trình cơ bản.

---

34. Khi nào dừng biến đổi ký hiệu?

Không phải mọi phương trình lượng giác đều có nghiệm đóng đẹp.

Ví dụ:

$$\cos x=x$$

không có biến đổi sơ cấp quen thuộc để cô lập $x$.

Khi đó chuyển sang:

• đồ thị;
• chia đôi;
• dây cung;
• Newton nếu đã học đạo hàm.

Đây là ranh giới giữa giải ký hiệu và giải số.

---

35. Chia đôi

Đưa về:

$$f(x)=0$$

Nếu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và:

$$f(a)f(b)<0$$

thì tồn tại ít nhất một nghiệm trong $(a,b)$.

Lặp:

$$m=\frac{a+b}{2}$$

rồi giữ nửa đoạn còn đổi dấu.

Ưu điểm: chắc chắn, dễ cài đặt.

---

36. Dây cung

Với hai gần đúng:

$$x_{n-1},x_n$$

lặp:

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n) \frac{x_n-x_{n-1}} {f(x_n)-f(x_{n-1})}$$

Dùng khi không muốn tính đạo hàm.

---

37. Newton

Lặp:

$$x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Nhanh khi hội tụ tốt, nhưng không bảo đảm hội tụ từ mọi điểm bắt đầu.

---

38. Kiểm tra nghiệm số

Không nên yêu cầu máy tính cho:

$$f(x^\ast)=0$$

chính xác tuyệt đối.

Dùng:

$$|f(x^\ast)|<\varepsilon$$

với $\varepsilon$ đủ nhỏ.

Nếu phương trình có mẫu, phải kiểm tra thêm mẫu không gần $0$.

---

39. Thứ tự ưu tiên công cụ

Ưu tiên từ đơn giản đến mạnh:

1. Điều kiện xác định.
2. Nhân tử chung.
3. Pythagore.
4. Phương trình cơ bản.
5. Đa thức theo một hàm.
6. Góc đôi.
7. Thuần nhất.
8. Tổng thành tích.
9. Biên độ.
10. Đối xứng $\sin x+\cos x$.
11. Hạ bậc.
12. Góc ba.
13. Nửa góc.
14. Tang nửa góc.
15. Giải số.

Không phải bài nào cũng đi qua đủ các bước.

---

40. Nguyên lý tối thượng

Một phép biến đổi tốt phải làm ít nhất một trong ba việc:

• giảm số loại hàm;
• giảm số loại góc;
• giảm bậc đại số.

Nếu biến đổi làm biểu thức dài hơn nhưng không đạt một trong ba mục tiêu trên, nên xem lại hướng giải.